Linearization

 

대부분의 system은 non-linear로 구성되어 있다. state-space equation 으로 표현하면 아래와 같은 system이다.

 

$$ \dot{x}(t) = h(x(t), u(t), t) $$

$$ y(t) = f(x(t), u(t), t) $$

 

Linearization을 적용하기 위해 initial input $ u_{0} $ 과 state $ x_{0} $ 을 기준으로 새로운 input $ u $, state $ x $ 를 정의한다. 

 

$$ \dot{x_{0}}(t) = h(x_{0}(t), u_{0}(t), t) $$

 

$$ x(t) = x_{0}(t) + \bar{x}(t) $$

$$ u(t) = u_{0}(t) + \bar{u}(t) $$

 

이때, initial input 과 state에서 선형적으로 더하여 $ h $ 함수에 적용하면 아래와 같다. (Tayler 전개를 활용)

 

$$ \dot{x}_{0}(t) + \dot{\bar{x}}(t) = h(x_{0}(t) + \bar{x}(t), u_{0}(t) + \bar{u}(t), t) $$

$$ = h(x_{0}(t), u_{0}, t) + \frac{\partial h}{\partial x} \bar{x} + \frac{\partial h}{\partial u}\bar{u} + ... $$

 

여기서 $ h $ 함수를 state $ s $, input $ u $ 로 편미분 한 것을 $ h $ matrix 의 Jacobians이라고 한다.

일반적으로 근사를 위해 initial state, input 에 대한 $ dot{x}(t) $ 를 0으로 둘 경우, 만들어진 선형모델은 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

 

$$ \dot{\bar{x}}(t) = A(t)\bar{x}(t) + B(t)\bar{u} $$