State-Space Solution & Realizations

 

(1) Solution of LTI state equations in Time-domain

 

$$ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) $$

 

위 식을 풀어보면 다음과 같다.

 

1. 양변에 $ e^{-At} $ 를 곱해준다.

$$ e^{-At}\dot{x}(t) - e^{-At}Ax(t) = e^{-At}Bu(t) $$

 

2. 좌변을 $ \frac{d}{dt} $ 꼴로 만들어 준다.

$$ \frac{d}{dt}[e^{-At}x(t)] = e^{-At}Bu(t) $$

 

3. 양변을 0 에서 $ t $ 까지 적분한다.

$$ e^{-At}x(t) - e^{0}x(0) = \int_{0}^{t}e^{-At}Bu(\tau)d\tau $$

 

4. $ x(t) $ 에 대하여 전개한다.

$$ x(t) = e^{At}x(0) + \int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau $$

 

(2) $ e^{At} $

우리는 이전 게시글 선형대수학에서 $ e^{At} $ 를 적분하는 법을 배웠다. 다시 방법만 적어본다면,

1. 테일러전개와 Cayley-Hamilton theorem 을 통해 하는방법

2. 대각화 혹은 Jordan form으로 변형한 후 계산

3. Laplace transform으로 $ L[e^{At}] = (sI-A)^{-1} $ 을 이용하는 방법이 있다.

 

(3) Solution of LTI state equations in Freq-domain

기본이 되는 state-space equations에 Laplace transform을 적용하면

 

$$ s\hat{X}(s) - X(0) = A\hat{X}(s) + B\hat{U}(s) $$

$$ \hat{Y}(s) = C\hat{X}(s) + D\hat{U}(s) $$

 

이후 $ \hat{X}(s) $ 와 $ \hat{Y}(s) $ 에 대해 전개하면 다음과 같다.

 

$$ \hat{X}(s) = (sI-A)^{-1}[X(0) + B\hat{U}(s)] $$

$$ \hat{Y}(s) = C(sI-A)^{-1}[X(0) + B\hat{U}(s)] + D\hat{U}(s) $$

 

 

(4) Equivalent state equations

$ \overline{x} = Px $ 인 P가 n by n의 nonsingular matrix일 경우, state equation은 다음과 같다.

 

이 경우 두 state equation은 "Characteristic polynomial" 과 "eigenvalue" 가 같다. characteristic polynomial은 eigenvalue를 해로 가지는 다항식이기 때문에, 같은 차원에 대해서 eigenvalue가 같다면 자명하다. 고로 eigenvalue가 같음을 보이면 된다.

 

transform matrix를 적용하기 전 system을 (a), 후 system을 (b) 라고 할 때, (a)의 eigenvalue와 vector는 아래와 같다. 

$$ Av = \lambda v $$

 

$ A = P^{-1}\bar{A}P $ 를 이용하여 다시 식을 나타내면,

$$ P^{-1}\bar{A}Pv = \lambda v $$

 

이후 양변에 $ P $ 를 앞에서 곱하면, 다음과 같다.

$$ \bar{A} Pv = \lambda Pv $$

 

즉 (b)의 state equation 또한 $ \lambda $ eigenvalue 와 $ Pv $ eigenvector 를 가진다.

 

(5) Zero-state equivalence

두 system이 same transfer matrix를 가지면 zero-state equivalent 라고 말한다. transfer matrix는 다음과 같이 나타내어진다.

 

$$ D + C(sI-A)^{-1}B = \bar{D} + \bar{C}(sI-\bar{A})^{-1}\bar{B} $$

 

여기서 다음과 같은 무한등비급수의 트릭 $ \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k} $ 을 이용하면 식을 전개할 수 있다.

 

$$ D + CBs^{-1} + CABs^{-2} + CA^{2}Bs^{-3} + ... = \bar{D} + \bar{C}\bar{B}s^{-1} +\bar{C}\bar{A}\bar{B}s^{-2} + \bar{C}\bar{A}^{2}\bar{B}s^{-3} + ... $$

 

이는 곧 두 state equation이 zero-state equivalent 인 것과 다음 두 조건이 필요충분 조건이다.

$$ D = \bar{D} $$

$$ CA^{m}B = \bar{C}\bar{A}^{m}\bar{B}, m = 0, 1, 2, ... $$

 

(6) Realization

transfer matrix $ \hat{G}(s) $ 가 realizable 이기 위해서는, 다음을 만족하는 finite-dimension 의 {A, B, C, D} 가 존재해야한다.

 

$$ \dot{x} = Ax + Bu $$

$$ y = Cx + Du $$

$$ \hat{G}(s) = D + C(sI-A)^{-1}B $$

 

여기서 {A, B, C, D} 를 $ \hat{G}(s) $ 의 realization이라고 한다.

 

$ \hat{G}(s) $ 가 realizable 하다는 것과 필요충분조건으로는  $ \hat{G}(s) $ 가 proper rational matrix 이면 된다. 이는 matrix가 아닌 transfer function $ \hat{g}(s) $ 에 대해서도 성립한다. 

 

$$ \hat{g}_{sp}(s) = c(sI-A)^{-1}b = \frac{ c [Adj(sI-A) ] b }{det(sI-A)} $$

여기서 분모의 차수는 n차이지만, $ Adj(sI-A) $ 의 각 element의 차수는 최대 $ n-1 $ 이다. 즉 proper rational function이다. (sp는 strictly proper part of $ \hat{G}(s) $ 의 의미이다.)

 

Controllable canonical form을 만드는 과정을 적어보면 다음과 같다.

$$ \hat{G}(s) = \hat{G}(\infty) + \hat{G}_{sp}(s) $$

 

$$ \hat{G}_{sp}(s) = \frac{N(s)}{d(s)} = \frac{N_{1}s^{r-1} + N_{2}s^{r-2} + ... + N_{r-1}s + N_{r}}{s^{r} + \alpha_{1}s^{r-1} + ... + \alpha_{r-1}s + \alpha_{r}} $$

 

으로 전달함수를 나타낼 수 있는데, 이는 아래와 같은 state equation으로 나타낼 수 있다.

 

증명으로는 다음과 같다.

 

$$ Z = \begin{bmatrix} Z_{1} \\ Z_{2} \\ ...  \\ Z_{r} \end{bmatrix} = (sI-A)^{-1}B $$

 

로 정의할 때, 전달함수 $ \hat{G}(s) $ 는 $ N_{1}Z_{1} + ... + N_{r}Z_{r} + \hat{G}(\infty) $ 로 나타낼 수 있다. 또한, Z의 정의에서 $ sZ = AZ + B $ 를 이용하고, Controllable canonical form 에서 $ A, B $ matrix 를 이용하면, 다음을 유도할 수 있다.

 

$$ sZ_{2} = Z_{1}, sZ_{3} = Z_{2}, ... , sZ_{r} = Z_{r-1} $$

$$ Z_{2} = \frac{1}{s}Z_{1}, Z_{3} = \frac{1}{s^{2}}Z_{1}, ... , Z_{r} = \frac{1}{s^{r-1}}Z_{1} $$

$$ sZ_{1} = -\alpha_{1}Z_{1} - \alpha_{2}Z_{2} - ... -\alpha_{r}Z_{r} + I_{p} $$

 

위 식을 이용하여 $ Z_{1} $ 에 관하여 풀면, Z matrix를 구할 수 있다. 구해진 Z matrix를 전달함수 $ N_{1}Z_{1} + ... + N_{r}Z_{r} + \hat{G}(\infty) $ 에 대입하여 정리하면 우리가 찾던 전달함수 식을 구할 수 있을 것이다.